|
SKLON FUNKCE A NESPOJITÉ PAVUČINOVÉ MODELYSEMINáRNí PRáCE SKLON FUNKCE A NESPOJITÉ PAVUČINOVÉ MODELYPro svou seminární práci jsem si vybrala téma uplatnění sklonu přímky v nespojitém pavučinovém modelu. OBSAH: 51953syu82hhx5y
1. SKLON FUNKCE Sklon vyjadřuje míru změny závisle proměnné v závislosti na změnách nezávisle proměnné. Sklon křivky je popisován hodnotami sklonu přímky, která může mít vzhledem ke zkoumané křivce dvojí polohu, tedy může být její:
My se ale budeme zajímat pouze o sklon lineární křivky, tedy přímky samotné. Sklon přímky je konstantní, jelikož si je přímka sama tečnou i sečnou, proto u přímky nerozlišujeme sklon průměrný a mezní. Sklon přímky je určen úhlem, který svírá přímka s kladným směrem osy x, hodnotu sklonu nám udává tangens tohoto úhlu. Pro znaménko sklonu je důležité znaménko funkce y = tg x. Potom platí, že:
Sklon přímky ve směrnicovém tvaru y=kx+q je roven konstantě k, která se nazývá směrnicí přímky. Platí tedy, že k=tga. Absolutní hodnota sklonu – tento pojem se používá např. pro porovnání sklonu poptávky a nabídky. Z vlastností funkce y=tg x plyne, že číselná hodnota sklonu, bez zřetele na znaménko, je rovna tg úhlu z intervalu (0o, 90o), který je svírán s osou x, tedy nejen s její kladnou částí. Sklon poptávky a nabídky porovnáváme bez ohledu na znaménko. 2. PAVUČINOVÉ MODELY Patří mezi dynamické modely, které postihují změny proměnných v čase. Čas vstupuje do dynamického modelu jako vnitřní proměnná zkoumané závislosti. Řešením dynamického modelu je funkce času, popisující pohyb kolem rovnovážného bodu v čase. Dynamické modely lze rozlišit podle toho, jaký je zvolený přístup k zohlednění změn v čase:
3. PAVUČINOVÝ MODEL NESPOJITÝ Hledá rovnováhu na trhu zboží mezi poptávkou a nabídkou. Je jednoduchý, tzn. že nedochází ke změnám závislosti v průběhu modelování. Je dynamický = zohledňuje změny v čase. Je dílčí:
4. POČáTEČNí ZPOŽDĚNí NA STRANĚ NABíDKY V jednoduchém statickém modelu bylo vždy předpokládáno, že nabídka a poptávka reagují na změnu ceny okamžitě, a tím je rovnováha obnovována okamžitě. Ve skutečnosti tomu tak není. Vždy nějaký čas trvá, než se lidé nebo výrobci přizpůsobí a dojde k obnovení rovnováhy. Zda se bude vychylování opakovat, zvětšovat nebo zmenšovat záleží na odhadech lidí nebo výrobců do budoucna. Bude-li se trh automaticky vracet do stavu rovnováhy, je závislé na konkrétním sklonu křivek poptávky a nabídky, tedy na vzájemném poměru jejich sklonů. Jelikož je sklon křivky popsán derivací a derivace znamená rychlost změn závisle proměnné způsobené nezávisle proměnnou, potom bude záležet na tom, která ze stran bude reagovat na změny ceny rychleji. Vždy je nutná vyšší rychlost reakcí protější stany, než na které je zpoždění, tedy:
Jak vzniká takové zpoždění na straně nabídky? Jestliže výrobci produkují méně množství výroby, tedy tehdy, budou-li výrobci chtít zvýšit objem výroby. 5. KONVERGENTNí MODEL Rovnováha na trhu zboží se zpožděním na straně nabídky bude obnovena, jestliže sklon poptávky je větší než sklon nabídky. 6. DIVERGENTNí MODEL Rovnováha na trhu zboží se zpožděním na straně nabídky nebude obnovena, jestliže sklon poptávky je menší než sklon nabídky. 7. PŘíKLAD 1 Máme dánu tuto situaci na trhu: Poptávka D je dána rovnicíQD = 360 - 21 Pt+1 Nabídka S je dána rovnicí QS = 30 + 12 Pt Současná cena P0 = 8 Je to situace, kdy zpoždění je na straně nabídky, neboť množství nabízeného zboží v čase t je stanoveno na základě ceny v předchozím období, tj. v čase (t-1). Nyní budeme hledat rovnovážnou cenu P*. Zjistíme, zda je současná cena rovnovážná. D = S 360 – 21P = 30 + 12P P* = 10 Znamená to tedy, že současná cena není rovnovážná. Nyní je otázka, zda je možné obnovit rovnováhu na trhu. Již jsem zmínila, že se to dá zjistit porovnáním sklonů nabídky a poptávky. ½sklon D½ = ½- 21½ ½sklon S½ = ½12½ Bez ohledu na znaménka můžeme říci, že ½sklon D½ je větší než ½sklon S½, z čehož vyplývá, že poptávka reaguje rychleji něž nabídka při zpoždění na straně nabídky. To tedy znamená, že model je konvergentní s návratem k rovnovážné ceně. Analytické řešení bude řešením diferenční rovnice 1. řádu, jelikož máme zpoždění pouze o jedno období. Řešením diferenční rovnice je posloupnost, která nám popíše závislost ceny na čase. 360 – 21 Pt+1 = 30 + 12 Pt Nyní zavedeme substituci Pt+1 = yx+1 Pt = yx Potom 21 yx+1 + 12 yx = 330 Nejdříve řešíme zkrácený tvar, tj. bez pravé strany 21 yx+1 + 12 yx = 0 Potom charakteristická rovnice má tvar 21 l1 + 12 l0 = 0 l = - 4/7 Obecné řešení zkrácené rovnice má tvar Yx = c * (-4/7)x Nyní odhadneme partikulární řešení Zx Zx = A0 21 A0 + 12 A0 = 330 A0 = 10 Zx = 10 Obecné řešení yx rovnice s pravou stranou yx = Yx + Zx yx = c * (-4/7)x + 10 což představuje nekonečně mnoho řešení Při počáteční podmínce P0 = 8, dostáváme řešení 8 = c * (-4/7)0 + 10 c = - 2 Potom řešením je konvergentní posloupnost yx = (-2) * (-4/7)x + 10 Odstraníme substituci Pt = (-2) * (-4/7)t + 10 Pro grafické řešení si vypočteme pár prvních členů
8. PŘíKLAD 2 Máme dánu tuto situaci na trhu Poptávky D je dána rovnicíQD = 360 - 12 Pt+1 Nabídka S je dána rovnicíQS = 30 + 21 Pt Současná cena P0 = 8 Řešení: 360 – 12 P = 30 + 21 P P* = 10 P* ¹ P0 ½sklon D½ = ½-12½ ½sklon S½ = ½21½ ½sklon D½ < ½sklon S½ Poptávka reaguje pomaleji než nabídka při zpoždění na straně nabídky. Jedná se o model divergentní, není možný návrat k rovnováze. Postup je stejný. 360 - 12 Pt+1 = 30 + 21 Pt Pt+1 = yx+1 Pt = yx 12 yx+1 + 21 yx = 330 12 yx+1 + 21 yx = 0 12 l1 + 21 l0 = 0 l = - 7/4 Yx = c * (-7/4)x Zx = A0 12 A0 + 21 A0 = 330 A0 = 10 Zx = 10 yx = Yx + Zx yx = c * (-7/4)x + 10 P0 = 8 8 = c * (-7/4)0 + 10 c = - 2 yx = (-2) * (-7/4)x + 10 Pt = (-2) * (-7/4)t + 10
9. PŘíKLAD 3 Máme dánu tuto situaci na trhu Poptávka D je dána rovnicíQD = 360 - 15 Pt+1 Nabídka S je dána rovnicíQS = 30 + 15 Pt Současná cena P0 = 8 Řešení: 360 – 15 P = 30 + 15 P 330 = 30 P P* = 11 P* ¹ P0 ½sklon D½ = ½-15½ ½sklon S½ = ½15½ ½sklon D½ = ½sklon S½ Poptávka reaguje stejně jako nabídka. 360 - 15 Pt+1 = 30 + 15 Pt Pt+1 = yx+1 Pt = yx 15 yx+1 + 15 yx = 330 15 yx+1 + 15 yx = 0 15 l1 + 15 l0 = 0 l = - 1 Yx = c * (-1)x Zx = A0 15 A0 + 15 A0 = 330 A0 = 11 Zx = 11 yx = Yx + Zx yx = c * (-1)x + 11 P0 = 8 8 = c * (-1)0 + 11 c = - 3 yx = (-3) * (-1)x + 11 Pt = (-3) * (-1)t + 11
Sklon funkce plní v nespojitých pavučinových modelech dost důležitou funkci. Podle sklonu poptávky a nabídky se dá ihned odhadnout, zda se model může nebo nemůže navrátit do rovnovážného stavu. Při zpoždění na straně nabídky musí být sklon poptávky větší než sklon nabídky. Jestliže je sklon poptávky menší než sklon nabídky, nelze dosáhnout rovnovážného stavu. Rovnají-li se sklony, model osciluje pořád dokola. Při zpoždění na straně poptávky platí vše obráceně, tj. má-li se docílit opět rovnovážného stavu musí být sklon poptávky menší než sklon nabídky. K řešení používáme stejný postup, a proto jej neuvádím. Čerpala jsem z přednášek a cvičení z předmětu matematická ekonomie, a také ze skript: Kolektiv autorů: Matematická ekonomie, VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 1995 |
