|
Popis množiny - historiePopis množiny - historieObsah 1) Úvod - historie2 2) Popis množiny2 2.1 Označování množin2 2.2 Typy množin2 2.3 Grafické znázornění množin3 2.4 Prázdná množina3 2.5 Doplněk množiny3 3) Vzájemné vztahy množin4 3.1 Výroky a výrokové funkce4 3.2 Základní vztahy mezi množinami5 3.2.1 Inkluze5 3.2.2 Rovnost5 3.2.3 Ostrá inkluze6 3.2.4 Sjednocení6 3.2.5 Průnik7 3.2.6 Rozdíl7 4) Důležité číselné množiny8 44734gbi19cjz1i 5) Závěr8
Vznik teorie množin, který se datuje na přelom 19. a 20. století pronikavým způsobem ovlivnil rozvoj matematiky ve 20. století. Tato skutečnost se odrazila i ve snahách upravit novým způsobem obsah výuky matematiky na základních a středních školách tak, aby tento obsah byl v souladu s postavením a významem teorie množin v současné matematice. Určité náznaky teorie množin můžeme pozorovat v pracích R. Dedekinda a Du Bois-Reymonda. Za zakladatele teorie množin se ale všeobecně považuje B. Bolsano (1781-1848), jehož přínos byl doceněný až v pozdějších letech, a neméně G. Cantor. G. Cantor formuloval množiny takto: "Množina je sloučení v jeden (t.j. souhrn) předmět, věcí, dobře rozlišených naší myslí nebo intuicí“.
2) Popis množiny Množinou intuitivně rozumíme soubor libovolných, navzájem různých objektů, které mají určitou vlastnost V. Množina je určená, jestliže o každém objektu množiny – prvku množiny – lze jednoznačně rozhodnout, zda danou vlastnost V má, nebo tj. zda do uvažované množiny patří, nebo nepatří. 2.1 Označování množin K označování množin užíváme zpravidla velká písmena latinské abecedy A, B, …., M, atd., prvky značíme malými písmeny a, b, … 2.2 Typy množin Množina bývá nejčastěji určena jedním z těchto způsobů:
Např.: A = {1;2;3;4}; B = {a;b;c;d}; C = {smrk, dub, buk};
Např.: A = {x I U; V(x)}A = {x I N; x < 6}
Graficky se množiny znázorňují pomocí tzv. množinových diagramů, z nichž nejznámější jsou tzv. Vennovy diagramy. Zápis vypadá takto: a I A čtěme: a je prvkem (elementem) množiny A b Ï A čtěme: b není prvkem množiny A Znázorňujeme: · b A · a 2.4 Prázdná množina Existuje právě jedna množina, která neobsahuje žádný prvek a nazývá se prázdná množina; označuje se Æ. 2.5 Doplněk množiny Doplněk množiny A v množině B tvoří všechny prvky, které patří do množiny B a nepatří do množiny A. Značíme jej A¢B.B AAB
K popisování množin je třeba si připomenout základní pojem výrok a výrokové funkce. 3.1 Výroky a výrokové funkce Pojem výrok je základním pojmem matematické logiky. Přibližně řečeno, myslíme tím tvrzení, o které pravdivosti nebo nepravdivosti má smysl uvažovat např.: "číslo šest je větší než dva" je pravdivý výrok. "Jdi a kup mi litr mléka." není výrok, není to oznamovací věta. Výrok se vyznačuje tím, že na něj lze odpovědět ano či ne. Označujeme jej malými písmeny latinské abecedy: p, q, r, ...Jestliže je výrok pravdivý, nabývá hodnoty 1. V opačném případě nabývá hodnoty 0. Jestliže p, q jsou výroky, tak pomocí nich můžeme vytvářet další výroky. Používáme na to tzv. logické spojky nebo logické operátory. Používají se tyto logické spojky:
Stručný přehled pravdivostních hodnot:
3.2.1 Inkluze A Í B Inkluze množin A, B; A je podmnožinou (částí) množiny B Definice: A Í B Û ("xIU; xIA Þ xIB) A je podmnožinou B, právě když každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B. B A = B A 3.2.2 Rovnost A = B Rovnost množin A, B Definice: A = B Û (AÌB Ù BÌA) Množiny A a B jsou si rovny, právě když A Ì B a zároveň B Ì A, tzn. všechny prvky množin A, B jsou tytéž. A = B
A Ì B Ostrá inkluze množin A, B Definice: A Ì B Û (A Í B Ù A ¹ B) Množina A je podmnožinou množiny B. Množina A se nesmí rovnat množině B. B A 3.2.4 Sjednocení A È B Sjednocení množin A, B Definice: A È B = (x IU; x I A Ú x I B) Sjednocení množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří alespoň do jedné z množin A a B. AB A È B 3.2.5 PrůnikA Ç B Průnik množin A, B Definice: A È B = (x IU; x I A Ù x I B) Průnikem množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří do A a zároveň do B. AB A Ç B 3.2.6 Rozdíl A – B, nebo A \ B Rozdíl množin A, B Definice: A - B = (x IU; x I A Ù x Ï B) Rozdíl množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. AB A - B
Množina čísel určitého druhu, ve které jsou definovány bez omezení operace sčítání a násobení se nazývá číselný obor. Používáme: Obor přirozených čísel (celých kladných):N = {1; 2; 3; 4; 5; …} Obor nezáporných celých čísel:N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …} Obor celých čísel: N = {… -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} Obor racionálních čísel: Q Obor reálných čísel: R Obor komplexních čísel: C Pro tyto obory platí inkluze N Ì N0 Ì Z Ì Q Ì R Ì C 5) Závěr Pojem množina je v matematice velmi důležitý, protože pomocí něj vlastně určujeme, pro jaká čísla nám platí dané vztahy, rovnice, nerovnice atp. Z toho vyplývá důležitost studie teorie množin na vysokých školách, případně budoucích učitelů matematiky. V této práci je snaha poskytnout co nejširší pohled na užitečnost teorie množin v současné matematice.
[1] Bělík M. a kol.: Matematika pro studium učitelství 1.st. ZŠ, UJEP-ÚnL, 2000 [2] Burian K.: Kapitoly z teorie množin, PedF-Ostrava, 1985 [3] Fuchs E.: Teorie množin pro učitele, Masarykova univ.-Brno, 1999 [4] Šalát T. Smítal J.: Teoria množín, Alfa, 1986 [5] Vošický Z.: Matematika v kostce, Fragment, 1999 |
