Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Brno - Ekonometrie

Ekonometrie

Semestrální práce

1. 
   Úvod

Během zkoumaného období byly zjištěny údaje zapsané v tabulce 1s. Jedná se o množství prodeje zboží při různých cenách za jednotku. Řádek X vyjadřuje cenu zboží v Kč, řádek Y prodané množství při této ceně.

Tabulka 1: poptávka po zboží

Dané údaje lze rovněž zobrazit graficky a tím lze získat lepší přehled o průběhu závislosti množství na ceně. Toto grafické znázornění je zobrazeno v grafu 1. Osa X představuje cenu zboží a osa Y množství prodaného zboží.

Graf 1: výchozí údaje

2. Vyrovnání údajů lineární funkcí

Nyní výchozí údaje vyrovnám lineární funkcí. Obecný tvar lineární funkce je y=b₀+b₁x. Pro vyrovnání údajů lineární funkcí byla použita rovnice y = 141,76 - 2,7269x. Tuto rovnici jsem zjistil z grafu 2, který zobrazuje výchozí data a vyrovnávací regresní přímku. Index determinace je možné vyčíst z grafu 2 a jeho hodnota je 0,7846. Jak rovnici lineární regrese, tak i index determinace jsem zjistil pomocí přidání spojnice lineárního trendu do grafu 1.

Graf 2: vyrovnání lineární funkcí

Rovnice lineární funkce je y = 141,76 - 2,7269x.

Index determinace je 0,7846, tzn., že lineární funkce vystihuje data z 78,46%.

3. Vyrovnání hodnot nelineární funkcí

S ohledem na průběh dat jsem se rozhodl pro lomenou funkci. Její rovnice je y = b₀+b₁/x. K výpočtu použiji metodu nejmenších čtverců.

1. určení normálních rovnic

Z rovnice lomené funkce, která je y = b₀+b₁/x, poté určím normální rovnice

nb₀ + b₁a(1/x) = ay

b₀a(1/x) + b₁a(1/x²) = a(y/x)

b) Výpočet parametrů regresní funkce

Tabulka 2: Tabulka výpočtů lomené funkce

Pomocné výpočty jsou uvedeny v tabulce 2. Spodní řádek obsahuje součet příslušného sloupce. Poté tyto údaje dosadím do normálních rovnic a vypočítám parametry.

14*b₀ + 0,86*b₁ = 1052 è b₀ = 75,14 – 0,06*b₁

0,86*b₀ + 0,086*b₁ = 89,8

———————————

0,86*(75,14 – 0,06*b₁) + 0,086*b₁ = 89,9

64,78 – 0,053*b₁ + 0,086*b₁ = 89,9

0,03*b₁ = 25,01

b₁ = 760,61

b₀ = 75,14 –0,06*760,61 = 28,31

Rovnice lomené funkce tedy je y = 28,31 + 760,61/x.

Tuto funkci jsem poté zobrazil do grafu 3. Zde se nalézají výchozí hodnoty (y) a také křivka vyrovnání lomenou funkcí (y’).

Graf 3: Vyrovnání lomeno funkcí

V grafu 3: y … původní hodnoty

y’… hodnoty vyrovnané lomenou funkcí

c) Výpočet indexu determinace

Tabulka 3: Vyrovnané hodnoty lomené funkce

Index determinace určím jako podíl rozptylu vyrovnaných hodnot (s²_y’) a rozptylu hodnot skutečných (s²_y). Hodnoty vyrovnané lomenou funkcí jsou zobrazeny v tabulce 3. Jsou tam také zobrazeny původní hodnoty x a y. Rozptyly jsem určil pomocí funkce programu a jejich hodnoty jsou s²_y’ = 1 359,01 a s²_y = 1 453,69. Index determinace poté vyšel 0,94.

Index determinace při vyrovnání lomenou funkcí vyšel 0,9349 a to znamená, že lomená funkce vystihuje původní data z 93,49%.

4. Další údaje pro lineární model

a) 95% interval spolehlivosti funkce

Tato charakteristika určuje interval, ve kterém se s 95% pravděpodobností nalézá funkce. Určí se z následujícího vztahu

kde S_y je směrodatná chyba a určí se:

S je reziduální směrodatná chyba a určí se:

K výpočtu jsou potřeba následující údaje

n = 14

`x = 342 / 14 = 24,43

`y = 1052 / 14 = 75,14

n-k-1 = 14-1-1 = 12

t_0,975 = 2,179

Tabulka 4: výpočet intervalu spolehlivosti lineární funkce

V tabulce 4 jsou následující údaje

y^… hodnoty vyrovnání přímkou

(y-y^)^2 … druhá mocnina rozdílu y a y vyrovnané

(x-xp)^2… druhá mocnina rozdílu x a x průměr

Sy^… směrodatná chyba

Y^d… dolní mez intervalu spolehlivosti

Y^h… horní mez intervalu spolehlivosti

Ve spodním řádku tabulky jsou sumy jednotlivých sloupců.

Pro větší přehlednost jsem zobrazil dolní a horní mez intervalu spolehlivosti spolu s lineární funkcí do grafu 4.

Graf 4: interval spolehlivosti lineární funkce

Jednotlivé křivky znamenají

Y^d … dolní mez intervalu spolehlivosti

Y^h … dolní mez intervalu spolehlivosti

Y… původní hodnoty

Lineární … lineární vyrovnání

Tento graf zobrazuje původní hodnoty a jejich vyrovnání přímkou. Prostor mezi křivkami Y^d a Y^h vyjadřuje prostor, ve kterém se s 95% pravděpodobností nalézá přímka při lineárním vyrovnání.

b) 95% intervalový odhad koeficientu korelace

Tabulka 5: výpočet koeficientu korelace

Nejprve jsem vypočítal koeficient korelace. Vycházel jsem z následujícího vztahu

Pomocné výpočty jsou uvedeny v tabulce 5, značky kde xp a yp znamená průměr dané veličiny. Koeficient korelace tedy po dosazení vyšel -0,88. Protože nemám více než 100 hodnot, ale jen 14 a protože hodnota korelačního koeficientu se neblíží k nule, musím použít Fisherovu transformaci. Ta je ve tvaru

.

Poté interval je

.

Z_r je -1,402, u_0,975 je 1,96. potom Z_r leží v intervalu (-1,99; -0,81). Poté následuje zpětná Fisherova transformace , z čehož vyplývá, že interval je (-0,96; -0,67).

S pravděpodobností 95% leží koeficient korelace v intervalu (-0,96; -0,67).

c) 95% intervalový odhad koeficientu regrese

V tomto bodě budu dělat intervalový odhad koeficientu regrese. K tomu použiji následujícího vztahu , kde

r mám již vypočítán z bodu 4.b a je -0,88 a r² je potom 0,78. Rovněž další údaje jsou uvedeny v tabulce 5. Po dosazení tedy S_b=0,04. Z tabulky jsem zjistil u_0,975=1,96. B je koeficient z rovnice a jeho hodnota je –2,73.

S pravděpodobností 95% leží koeficient regrese v intervalu (-2,80; -2,65)

5. Další údaje pro nelineární model

a) 95% pás spolehlivosti funkce

Tento pás se určí podle vztahu

, kde

Tabulka 6: výpočet pásu spolehlivosti

V tabulce 6 jsou následující údaje

y^… vyrovnané hodnoty

(y-y^)^2 … druhá mocnina rozdílu skutečných a vyrovnaných hodnot

Yd… dolní hranice pásu spolehlivosti

Yh… horní hranice pásu spolehlivosti

Další údaje potřebné pro výpočet

S = 10,51n-k-1 = 12t = 2,179

Pro větší přehlednost jsem zobrazil dolní a horní mez pásu spolehlivosti spolu s lineární funkcí do grafu 5.

Graf 5: pás spolehlivosti lomené funkce

Jednotlivé křivky znamenají

Yd … dolní mez pásu spolehlivosti

Yh … dolní mez pásu spolehlivosti

Y… původní hodnoty

Y^… křivka lomené funkce

Tento graf zobrazuje původní hodnoty a jejich vyrovnání lomenou funkcí. Prostor mezi křivkami Yd a Yh vyjadřuje prostor, ve kterém se s 95% pravděpodobností nalézá křivka lomené funkce.

b) test průkaznosti modelu na 5% hladině významnosti

H₀ º ekonometrický model je neprůkazný

H₁ º ekonometrický model je průkazný

Testové kriterium

Potřebné hodnoty jsou (některé již byly vypočítány dříve):

S_R = 19 026,14S_e = 1 325,58k = 1n-k-1 = 12

S²_R = 19 026,14S²_e = 110,46

F_vyp = 172,24F_tab = 4,747

F_tab < F_vyp à zamítám nulovou hypotézu, že na hladině významnosti 5% je ekonometrický model neprůkazný a příjmám alternativní hypotézu, že ekonometrický model průkazný a je statisticky významný.

c) test parametrů modelu na 5% hladině významnosti

H₀: b_j = 0daný regresní parametr je nevýrazný

H₁: b_j ¹ 0daný regresní parametr je výrazný

Testuje se na základě testového kriteria t = b_j/S_bj.

b₀ = 28,3 b₁ = 760,61t = 2,179S = 10,51 = 2 147,43

Po dosazení S_b0 = 17,27S_b1 = 0,23 at_b0 = 1,63t_b1 = 44,23

t > t_b0 à nezamítám nulovou hypotézu, že regresní koeficient je nevýrazný

t < t_b1 à zamítám nulovou hypotézu, že regresní koeficient je nevýrazný na hladině významnosti 5% a příjmám alternativní hypotézu, že regresní koeficient je statisticky významný.

d) test indexu korelace na 5% hladině významnosti

H₀: I _yx = 0mezi x a y není závislost

H₁: I _yx > 0mezi x a y je závislost

Testové kriterium:

F_tab(1,12) = 4,747I_yx² = 0,9349 (viz bod 3.C)

Poté F_vyp = 172,24

F_tab < F_vyp à zamítám nulovou hypotézu, že mezi x a y není závislost na hladině významnosti 5% a příjmám alternativní hypotézu, že mezi x a y je závislost a je statisticky významná.

6. 
   Shrnutí

Výchozí údaje jsem vyrovnal pomocí přímky a pomocí lomené funkce.

Rovnice lineární funkce y = 141,76 - 2,7269x

lomená funkcey = 28,31 + 760,61/x

Index determinace lineární funkce 0,7846

lomené funkce0,9349

Lineární funkce vystihuje původní data ze 78,46%, zatímco lomená funkce z 93,49%. Je tedy patrné, že lomená funkce je daleko vhodnější k vyrovnání původních hodnot.

Další údaje lineárního modelu

a) 95% interval spolehlivosti funkce je graficky zobrazen v grafu 4.

b) 95% intervalový odhad koeficientu korelace

koeficient korelace leží s 95% pravděpodobností v intervalu (-0,96; -0,67)

c) 95% intervalový odhad koeficientu regrese

s pravděpodobností 95% leží koeficient regrese v intervalu (-2,80; -2,65)

Další údaje nelineárního modelu – lomené funkce

a) 95% pás spolehlivosti funkce

Tento pás je zobrazen v grafu 15. Jsou tam zobrazeny původní hodnoty a jejich vyrovnání lomenou funkcí. Prostor mezi křivkami Yd a Yh vyjadřuje prostor, ve kterém se s 95% pravděpodobností nalézá křivka lomené funkce.

b) test průkaznosti modelu na 5% hladině významnosti

zamítám nulovou hypotézu, že na hladině významnosti 5% je ekonometrický model neprůkazný a příjmám alternativní hypotézu, že ekonometrický model průkazný a je statisticky významný.

c) test parametrů modelu na 5% hladině významnosti

b₀ - nezamítám nulovou hypotézu, že regresní koeficient je nevýrazný

b₁ - zamítám nulovou hypotézu, že regresní koeficient je nevýrazný na hladině významnosti 5% a příjmám alternativní hypotézu, že regresní koeficient je statisticky významný.

d) test indexu korelace na 5% hladině významnosti

zamítám nulovou hypotézu, že mezi x a y není závislost na hladině významnosti 5% a příjmám alternativní hypotézu, že mezi x a y je závislost a je statisticky významná.